数学史论文【最新4篇】

数学史是研究数学科学发生发展及其规律的科学，简单地说就是研究数学的历史。以下是人见人爱的小编分享的数学史论文【最新4篇】，您的肯定与分享是对小编最大的鼓励。

有关数学史的论文下载 篇1

中国古代及近现代数学史探究

中华民族是一个具有悠久历史和灿烂文化的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。研究中国的数学发展历程有着重要的现实意义。

1 中国古代数学的发展史。

1.1起源与早期发展。数学是研究数和形的科学，是中国古代科学中一门重要的学科。中国数学发展的萌芽期可以追溯到先秦时期，最早的记数法在殷墟出土的甲骨文卜辞中可以找到记数的文字。如独立的记数符号一到十，百、千、万，最大的数字为三万，还有十进制的记数法。

在春秋时期出现中国最古老的计算工具---算筹，使用算筹进行计算称为筹算，中国古代数学的最大特点就是建立在筹算基础之上。古代的算筹多为竹子制成的同样长短和粗细的小棍子，用算筹记数有纵、横两种方式，个位用纵式，十位用横式，以此类推，并以空位表示零。这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。

在几何学方面，在《史记·夏本记》中记录到夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，勾股定理中的“勾三股四弦五”已被发现。

1.2中国数学体系的形成与奠基时期。这一时期包括秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。中国古代的数学体系形成在秦汉时期，随着数学知识的不断系统化、理论化，相应的数学专书也陆续出现，如西汉初的《算数书》、西汉末年的《周髀算经》、东汉初年的《九章算术》以及南北朝时期的《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等一系列算学着作。

《周髀算经》编纂于西汉末年，提出勾股定理的特例及普遍形式以及测太阳高、远的陈子测日法；《九章算术》成书于东汉初年，以问题形式编写，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章，特点在于注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系。

中国数学在魏晋时期有了较大的发展，其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽证明了数学定理和公式，详尽注释了《周髀算经》，其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。

在南北朝时期数学的发展依然蓬勃，出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作。最具代表性的着作是祖冲之、祖父子撰写的《缀术》，圆周率精确到小数点后六位，推导出球体体积的正确公式，发展了二次与三次方程的解法。

1.3中国古代数学发展的盛衰时期。宋、元两代是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。出现了一批着名的数学家和数学着作，其中最具代表性的数学家是秦九韶和杨辉。秦九韶在其着作的《数学九章》中创造了“大衍求1术”（整数论中的一次同余式求解法），被称为“中国剩余定理”，在近代数学和现代电子计算设计中起到重要的作用。他所论的“正负开方术”（数学高次方程根法），被称为“秦九韶程序”。现在世界各国从小学、中学、大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律、解题原则。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家，他在1261年所着的《详解九章算法》一书中，给出了二项式系数在三角形中的一种几何排列，这个三角形数表称为杨辉三角。“杨辉三角”在西方又称为“帕斯卡三角形”，但杨辉比帕斯卡早400多年发现。

随后从十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年，数学除了珠算外出现全面衰弱的局面。明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。

2 中国近现代数学的发展史。

中国近现代数学发展时期是指从20世纪初至今的一段时间，开始于清末民初的大批留学生的回国后，各地大学的数学教育有了明显的起色，很多回国人员后成为着名的数学家和数学教育家，在世界都具有重要的影响，为中国近现代数学发展做出了重要贡献，这些着名的数学家及其贡献主要有：

2.1陈景润及其代表作。陈景润是世界着名解析数论学家之一。1966年，陈景润攻克了世界着名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位，距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥，于1978年和1982年两次收到国际数学家大会的邀请，在其他数论问题的成就在世界领域也是遥遥领先的。

2.2华罗庚及其贡献。华罗庚是近代世界着名的中国数学家，对数学的贡献是多方面的。在数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多个复变函数论、偏微分方程及高维数值积分等领域都做出了卓越的贡献。他解决了高斯完整三角和的估计，推进华林问题、塔里问题的结果，在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界领先地位，着作有《堆垒素数论》、《数论导引》、《典型域上的多元复变量函数论》及合着《数论在近似分析中的应用》。他在普及应用数学方法、培养青年数学家等上都有特殊贡献。

2.3苏步青及其成就。苏步青是中国科学院院士，国内外享有成名的数学家。主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究。他在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就，对培养中国早期的数学人才曾起了巨大的推进作用。

2.4吴文俊及其贡献。吴文俊是数学界的战略科学家，现任中国科学院院士，第三世界科学院院士。曾获得首届国家自然科学一等奖(1956)、中国科学院自然科学一等奖(1979)、第三世界科学院数学奖(1990)、陈嘉庚数理科学奖(1993)、首届香港求是科技基金会杰出科学家奖(1994)、首届国家最高科技奖(2000)、第三届邵逸夫数学奖(2006)。他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，他的“吴方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛重要的应用价值。

3 研究中国数学发展史的重要意义。

与自然科学相比，数学是一门积累性科学，国内外许多着名的数学大师都对数学史都有着深远的研究。研究数学发展史可以为我们提供经验教训和历史借鉴，使我们的科学研究方向少走弯路或错路。从数学发展史中，我们要明白数学是一种文化，是形成现代文化的主要力量，是文化极其重要的因素。数学的概念来源于经验，与自然科学的生活世纪密不可分，在经过数学家严格的加工与推理后形成数学这门科学。研究数学的发展历史，弄清一个概念的来龙去脉，一个理论的兴旺和衰落，影响一种重要思想的产生的历史因素，有利于了解数学的现状，指导数学的未来，更好地接受以及学习数学，从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，从而使数学与我们的生活更加贴切。

参考文献：

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[3]李文林。数学史概论（第二版）[M]。北京：高等教育出版社，2002.

数学的论文 篇2

浅谈初中数学教学中学生创新能力培养

前言

在新时代的背景下，各种高新科学技术和社会经济文化水平迅猛发展。在人们的物质需求和文化需求逐渐增加的同时，社会对于人的知识储备和整体素质能力也有了更高的要求。社会要求人应该具备高知识水平和良好的创新能力。而知识和个人综合能力包括创新能力的提高，在很大程度上都要依赖于教育。作为九年制义务教育的最后阶段，初中教育在其中起着很大的作用。如何提高培养初中数学教学中学生的创新能力，这是值得研究的问题。

一、初中数学教学现状和创新能力作用

随着时代的发展，信息时代的来临，机器化和工业化固然重要，然而如何更好地运用好机器、工业甚至资源和资本，都有赖于人的创新能力。人在社会发展中占据主导地位，因为人的知识储备、具备的综合能力和创新能力可以更好的适应当代社会的发展，从而更好的推动社会的发展。单就发明专利数量而言，中国虽然科研人员的人数众多，然而专利数却远远落后于其他国家，且质量水平较低。新华社2003年的一项调查报告显示，我国青少年参与科学探究的比率低于百分之三十，对科学创新也不知道如何实施，这样的情况是很严峻的，这显示了我们国家在对青少年的基础教育培养中没有重视对于学生的创新能力培养。因此，提高青少年的创新能力对我国国情而言，刻不容缓。

信息化飞速发展的社会需要大量的创新型人才，而我国传统教育却往往重视对学生理论知识的灌输而不够重视实践，重视教师的教程教案而不够重视学生的自主学习，而系统的学习和学生的学习创新能力却极度缺乏。“应试教育”很大程度上阻碍了学生的自我发展和创新能力培养。而初中教学在对于青少年整个的接受教育生涯中起着基础性的作用

而研究表明，在十几岁的年纪，青少年的创新能力是逐渐提高的，而在接受教育的条件下，对于提高其创新能力的帮助也是显著的。创造力是可以培养的，并且初中生在创新创造这方面比起成年人有着更大的主动性和兴趣，因此，通过初中课堂教学尤其是数学教学，有利于培养起学生对于科学学习的兴趣以及培养学生的创新能力。学生在教师的指导之下进行有益的自我探索式学习，积累科学知识，不把课本和教师当成绝对的权威，而是主动思考科学知识的由来，对知识有一个深入的探究，寻找新思路、新方法。创新能力的本质是在教学活动中学生的创新思维品质，脱离基础教学，空谈创新能力毫无意义。

数学本身具有抽象性和严密的逻辑性，学习数学有利于学生对于现实世界的把握和探索，在学习的过程中形成自己的思维逻辑，拥有自己思考形成的一套方法和准则。在教师教学的过程中，从实际出发，脱离那些被固化的解题模板，从本源出发，发散思维，通过思考、实践、交流探索来进行有效的学习探索，因此对于培养学生的思维能力和创新能力是至关重要的。

创新能力的本质是在教学活动中学生的创新思维品质，脱离基础教学，空谈创新能力毫无意义。初中数学的基础教学是创新能力培养的重要途径，培养学生的创新能力也是初中数学教学的基础任务。

二、提高学生创新能力的方法对策

目前在初中数学教学过程中，确实存在许多问题，阻碍了学生的创新能力的培养和发展。比如说“应试教育”的功利性较强，一方面会导致教师在教授知识的过程中会加强理论知识的灌输和解题技巧的培养，另一方面学生也会更注重对于试卷上题目的解答能力和卷面分数高低，而忽略了数学思维的培养

另外，教学内容的简单化和教学方式的单一化也使得对于探索式学习的进行遇到阻碍。课堂教育中灌入式的教学方式和大量习题的运作量，以及对于作业和考试的重视远远大于对知识本身的渴求，学生不是学习的主体，反而是被动接受。这样的现状需要改变，除了要提高教师的专业素质，还要：

1.加强对教师专业素质的培养提高，需要教师树立好正确的教育理念，正确意识到自身社会责任和保持良好的道德。除了单纯的技巧教学，不照本宣科而是以创新的意识、创新的方式，多角度发散思维教学，培养学生的创新能力。

2.教材对于课堂教学起的是基础性作用。要运用合理科学的教材，符合时代和社会的发展。另外是教师和学生对于教材的运用，也要有科学的方式，将实践和课本理论有效结合，引导学生主动学习，提高创新能力。

3.创新意识不仅仅只是“意识”，不是天马行空的想象，而是合乎情理的新发现，合乎逻辑的思维发散。教师和学生都要树立起对创新能力的正确认识。教师要做的是引导，学生要做的是思考，敢于质疑权威、批判传统，培养起科学的意识，主动去发现问题，分析、解决问题。

4.实现教学的创新模式，发展新型平等的师生关系，营造课堂和课下的创新氛围，教师树立新的教学观、学生树立新的学习观念，发展创新素质，实现教学组织的创新、教学内容的创新、教学方式的创新，从实际出发，结合科学合理的创新模式，使学生真正学会学习学会思考，提高创新能力。

数学史的论文参考 篇3

浅析清末民国对数教育情况

6 至 17 世纪，各学科知识高速发展，尤其是天文、航海及近代力学需要进行大量数学计算。为简化运算，提高运算速度，许多数学家花费了大量心血。 苏格兰数学家纳皮尔等人通过多年的研究，发明了“ 对数”. 这一发明影响深远，它不仅使“ 天文学家寿命倍增”[1]137( 拉普拉斯语) ,也使伽利略“ 利用时间、空间和对数，就可创造一个宇宙”[2]1,更不愧于恩格斯将其列为 17 世纪三大数学发现之一。

一、清末对数教育情况

清末从同治元年( 1862)京师同文馆设立起，至辛亥革命( 1911)推翻清政府止，数学教育近代化经历了近五十年的历程。 在此过程中，前期表现为数学课程普遍设置并进行了教学方法的改革，后期主要是学制的颁布与实施及教育行政机构的设立。 1867 年，京师同文馆增设天算馆。 由于没有颁布相应的教学大纲或课程标准，但根据《 同文馆题名录》所载课程( 1876)及同文馆活字本《 算学课艺》的内容可推断其课程包括代数学、平三角、弧三角等。 据《 同文馆算学课艺》( 1880)卷二中涉及对数题目 1 道。 第 46 题“ 瓜豆共生”,该题与《 九章算术》中的“ 蒲莞共生”,“ 两鼠对穿”同类，但解法却不是应用盈不足术求解，而改用指数与对数求解[4]46. 此足可说明对数已成为京师同文馆的教学内容。

清末，教会学校盛行。 由传教士组织的“ 学校教科书委员会”编译了大量数学教科书，其中《 笔算数学》、《 代数备旨》、《 形学备旨》、《 八线备旨》 、《 代形合参》 等书流传甚广，且编有细草，编者又不止一人。《 八线备旨》四卷，原着美国罗密士，美国传教士潘慎文选译，谢洪赉校录，1894 年出版， 美华书馆铅印本。 该书流传版本较多，以1898 年益智书会石印本为例，其凡例称：原本更有论对数与航海法各一卷都为六卷，但对数已经别译，而航海又嫌过略，不足以备学者观览，姑且从删；原本后对数、八线、弦切对数等以便检查[5]1. 此书共四卷，含平三角、量法、测地、弧三角形，是当时的三角学课本，多次重印，影响极大。

清代末期是中西数学的融合时期，数学的发展表现出两个方向：

一是西方变量数学的传入和研究；二是中国传统数学的继续研究。 这种情形在诸多算学课艺中有所反映， 其内容中不仅有中国传统数学的天元术、勾股术，也有西方传入的几何、平面三角、球面三角、指数、对数等。而对数部分内容教学分别散落于代数与三角教学中。即先从代数部分习得对数的相关概念及其运算法则，后由三角部分再习，主要是用于解三角形，以简化运算。 如《 平面三角法新教科书》所言，凡关于三角形问题之解决，而欲得其便捷之计算，莫若用对数[6]78.

三角学教科书方面，《 新撰平面三角法教科书》[7]33中第三编，对数之性质及用法。 介绍了对数定义，对数之性质，对数之指标之定义，对数之假数之定义，对数表之形，比例差，以对数算直角三形之法。《 平面三角法讲义》[8]86中第六编对数，第七编三角函数真数表及对数表。 虽采用了从左至右横排版，但其中的未知数 x,y,z 用甲、乙、丙代替，字母 A 用呷代替，字母 B 用口字旁加乙字代替，字母 C 用口字旁加丙字代替。 正弦等三角函数名称用正弦、余弦、正切等代替。 如 tanA 用正切呷代替。 全书用手写版，读起来似为天书。 依此看来， 数学符号的现代化进程也不是一蹴而就的， 其间也有反复。

《 三角法教科书》[9]1全书七编。第六编三角形之解法将正弦定理直接改为对数式，没有介绍对数的相关知识。 而在第七编之后专设“ 附录”重点介绍了对数、对数表用法，三角函数对数表用法，三角函数表用法。 附录之后是附表，给出了 1- 2000 之五位对数表，十分飞三角函数对数表，十分飞三角函数表。 代数教科书方面，《 中学校数学教科书---代数之部》该书上卷五编，下卷九篇共十四编。其中第十二编为对数。分两章，第一章为对数，第二章为复利算，年利算。书中原序提到：“ 要目列对数于最后然实有须使早学者故置于级数之后”.“ 学对数表之用法期间甚短若使学者另购对数表殊有未便乃附至 5000 之对数表于卷末而 5000 以上之对数表可依自 500 至 1000之对数表求得之故使学其用法足矣”[10]1.

总之，清末时期的对数教育，主要是先从代数中讲授，继之以三角中讲授。 代数主要讲授对数、常用对数的定义，如何求一个数的对数，对数的运算法则，对数表的用法，用比例法求一个数的对数。 三角教科书在引入对数时主要基于以下理由：一是“ 凡数过大，演算时甚为困难，若用对数，则较为便利，用对数可实现加法代乘法，减法代除法，乘法代自乘，除法代开方”[11]98. 二是“ 以对数解三角，大可省实算之劳，故须省对数之性质”[12]38.“ 解三角之问题，便于计算，莫对数若。 对数之法，学者于代数学虽已知之。 然为应用计，兹再述其大略”[13]78.

二、民国对数教育情况

1912 年，中华民国成立。 同年 9 月颁布《 中学校令》 规定中学校修业年限为四年。 12 月公布《 中学校令施行规则》，规定数学宜授以算术、代数、几何及三角法，女子中学校可减去三角法。 1913 年 3 月《 中学校课程标准》 中规定第一至三学年习代数，第四学年习《平面三角大要》。 1922 年颁布《 学校系统改革案》，规定中学校修业六年，分为初高两级，初级三年，高级三年。 1923 年《 新学制课程标准纲要》中规定，代数中习对数。三角中有边角互求，三角应用大意。《 高级中学第二组必修的三角课程纲要》中里面有对数与对数造表法，航海术等。《 高级中学第二组必修的高中代数课程纲要》中规定要学习对数、对数方程式、对数级数。 此后的 1929 年亦要求初中三年级代数课学习对数，三角中使用对数。 高中仍如 1923 年。 1932 年《 初级中学算学课程标准》中规定初中第三学年代数部分学习对数检查表及应用。将三角部分移至几可，并要求“ 三角之正式教授，宜移至高中，但三角应用极广，初中亦不可不知。故宜就实例入手，讲授三角函数定义，及三直角三角形解法，简易测量，余可从略”[14]231. 1932 年《 高级中学算学课程标准》规定第一学年三角部分习对数，测量及航海方面之应用题。 第二学年代数中习对数，特性和应用。 应用题，造表法略论，表之精确度。 1936 年情形亦如上。

1941 年颁布的《 修正初级中学数学课程标准》 由于要“ 适应抗战建国之需要”,教学时数有所减少，内容略有调整。 初中不再学习三角，代数也不再学习对数。 同年的《 修正高级中学数学课程标准》第一学年三角中学习对数理论及应用、三角函数表及三角函数对数表用法。 第二学年代数中习对数。 同年 9 月，颁布《 六年制中学数学课程标准草案》，规定六年制中学，不分初高中，各科全部课程，均采直径一贯之编配，并选成绩优良学校试点。 教材大纲中第三学年代数要求学习对数之特性及其应用，对数表。 第五学年习解任意三角形，测量及航海方面之应用题。

通过梳理近代以来对数教学情况可以得出以下结论。

一是对数作为数学知识引入中国课堂， 主要是学习外国的结果。从京师大学堂到癸卯学制，主要是传教士和中国数学家的贡献。这一时期，学习、研究的是西方传入的对数知识。 1904 年后，主要是学习日本。日本通过明治维新，国力日盛，并在甲午战争中获得了胜利。 晚清政府和国人意识到了科学教育的重要。 大量的留学生赶赴日本，学成之后回国，或着书立说，或投身教育，使得作为“ 西学”的对数顺利进入中国课堂，并被大量学生学习。

通过梳理对数教育的历史，我们可以看出近代较为注重对数的应用，如解三角形、航海等方面均利用对数进行求解，而现代教科书则难觅这些。当然时代在进步，科学在发展，有些知识和方法在不断地更新，我们现在不可能舍易取难，用对数方法去解三角形，但翻阅教科书中对数部分内容，给人的直观感觉就是应用。学以致用，目的性强，容易引发学生的学习兴趣，这点是值得借鉴的。

参考文献

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数学史的论文参考 篇4

浅谈流形概念的演变与理论发展

一、引 言

流形是 20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。 在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。

流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。 从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的， 因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形(该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入)的原因。

流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？ 是如何解决的？ 谁解决的？ 形成了什么理论？这是几何史的根本问题。 目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、 细致的分析，并对上述问题给予解答。

二、流形概念的演变

流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)的内蕴几何思想 ,黎曼(C.F.B.Riemann,1826-1866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。 随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义， 最终外尔(H.Weyl,1885-1955)给出了流形的严格数学定义。

1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系

十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。 1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长， 并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。 高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影， 这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各 3°或 1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上， 然后将椭圆柱面展开成平面。

采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。 当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的， 并且相邻投影带的坐标可以进行换算。 这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。

大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。 由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。 高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》 使他获得了 1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。 高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。 ”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。

全面展开高斯的内蕴几何思想的是他 1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于 180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。 高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标(u,v)表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。 突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？ 这是高斯的几何的基础。 高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。

2. 黎曼的“关于几何基础的假设”

黎曼在 1851 年的博士论文 《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。 在高斯的几何思想和赫巴特(J.F.Herbart,1776-1841)的哲学思想的影响下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。

黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念， 并假设了空间中各种建构的基本原则。 关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。 这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。 从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。 这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。 因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：

建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。 黎曼为什么要建立空间的概念？ 这与当时非欧几何的发展有很大关系。 罗巴切夫斯基(N.L.Lobatchevsky,1793-1856) 和波约 (J.Bolyai,1802-1860) 已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。 然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了 n 维流形的概念。 他称 n 维流形为 n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。 用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。 黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过 n 维流形同一维流形递归地构造出来的； 反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。 这样每一个 n 维流形就有 n 个自由度，流形上每一点的位置可以用 n 个数值来表示，这 n 个数值就确定了一个点的局部坐标。 黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。 赫巴特在《论物体的空间》中提到：

“ 从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了 n 维流形， 这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。 从本质上讲， 黎曼的 “流形” 概念与当时格拉斯曼 (H. G.Grassmann,1809-1877) 的 “ 扩张 ” 概念和施莱夫利(L. Schlafli,1814-1895)的 “连续体 ”概念基本一致 .〔6〕83流形应具有哪些特征呢？ 黎曼提到：

“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块(Quanta)，这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。 测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准， 即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为 n 维流形局部与 n 维欧氏空间的同胚。 黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。 他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。 进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。 曲面上的度量概念， 等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。 自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。

3. 希尔伯特的公理化方法

从 19 世纪 70 年代起，康托尔(G. Cantor,1845-1918)通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。 康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。 希尔伯特在 1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形(希尔伯特称之为平面， 而把欧氏平面称为数平面)，提出了二维流形的公理化定义：

“平面是以点为对象的几何， 每一点 A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。

(1) 一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。 这个单连通区域称为邻域的像。

(2)含于一个邻域的像之中而点 A 的像在其内部的每个单连通区域， 仍是点 A 的一个邻域的像。若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。

(3)如果 B 是 A 的一个邻域中的任一点 ,则此邻域也是 B 的一个邻域。

(4)对于一点 A 的任意两个邻域 ,则存在 A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。

(5)如果 A 和 B 是平面上任意两点 ,则总存在A 的一个邻域它也包含 B. ”

〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，(1)和(2)意味着在平面(二维流形)的任意一点的邻域到数平面(欧氏平面)的某单连通区域上都能建立同胚映射。 (3)-(5)意图是要在平面(二维流形)上从邻域的角度建立拓扑结构。 希尔伯特的定义延续了黎曼指明的两个方向：流形在局部上是欧氏的(这一点黎曼已经以量块迭加的方式提出)，在整体上存在一个拓扑结构。 这个拓扑结构希尔伯特显然要以公理的方法建立 (这一工作后来由豪斯道夫完成，豪斯道夫发展了希尔伯特和外尔的公理化方法，在 1914 年的着作《集论基础》 中以邻域公理第一次定义了拓扑空间)，〔13〕249但与豪斯道夫的邻域公理相比， 他的定义还不完善，比如(3)中描述的实际上是开邻域。 另外，他没有提流形须是一个豪斯道夫空间。希尔伯特已经勾勒出流形的基本框架，随着拓扑学的发展，外尔完善了希尔伯特的工作，给出了流形的现代形式的定义。

4. 外尔对流形的现代形式的定义

(a) 给定一个称为”流形 F 上的点“的集合，对于流形 F 中的每一点 p,F 的特定的子集称为 F 上点 p 的邻域。点 p 的每一邻域都包含点 p,并且对于点 p 的任意两个邻域，都存在点 p 的一个邻域包含于点 p 的那两个邻域中的每一个之内。 如果 U0是点 p0的一个邻域，并且点 p 在 U0内，那么存在点 p的一个邻域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的两个点， 那么存在 p0的一个邻域和 p1的一个邻域使这两个邻域无交，也就是这两个邻域没有公共点。

(b) 对于流形 F 中每一定点 p0的每一个邻域U0,存在一个从 U0到欧氏平面的单位圆盘 K0(平面上具有笛卡尔坐标 x 和 y 的单位圆盘 x2+y2<1)内的一一映射，满足(1)p0对应到单位圆盘的中心；(2)如果 p 是邻域 U0的任意点，U 是点 p 的邻域且仅由邻域 U0的点组成， 那么存在一个以 p 的像 p′作为中心的圆盘 K, 使得圆盘 K 中的每一点都是 U中一个点的像；(3)如果 K 是包含于圆盘 K0中的一个圆盘，中心为 p′，那么存在流形 F 上的点 p 的邻域 U,它的像包含于 K. ”〔15〕17可以看出，(a)从邻域基的角度定义了 F 是一个豪斯道夫空间。 (b)中的映射为一一的、双向连续的(即同胚)映射，这样(b)定义了 F 中任意一点都有一个邻域同胚于欧氏空间中的一个开集。 外尔给出的这个定义正是现代形式的流形的定义，尽管外尔的定义是针对二维的情形，但本质上给出了流形精确的数学语言的定义， 并且推广到高维没有任何困难。

一般认为，高维流形的公理化定义由维布伦(O.Veblen,1880-1960) 和 怀 特 黑 德 (A.N.Whitehead,1861-1947)于 1931 和 1932 年给出，即把流形作为带有最大坐标卡集和局域坐标连续以及各阶可微变换的点集。 实际上，这种看法没有足够重视外尔1919 年对黎曼讲演的注释， 特别是未能利用外尔1925 年的长文《黎曼几何思想》。 事实上，除了未对高阶微分结构予以明确区分外，外尔的注释和长文中实质上包含了高维微分流形的定义。

三、流形理论的发展

我们上面提到的流形指拓扑流形，它的定义很简单，但很难在它上面工作，拓扑流形的一种---微分流形的应用范围较广。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧氏空间中曲线和曲面概念的推广。 可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)，对微分流形上不同的几何结构的研究就形成了微分几何不同的分支。 常见的有：

1. 黎曼度量和黎曼几何

仿紧微分流形均可赋予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度、面积、体积等几何量，这种几何称为黎曼几何。黎曼这篇《关于几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。 大约在 1925 年霍普夫(H.Hopf,1894-1971)才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是嘉当(J.Cartan,1869-1951)在 20世纪 20 年代开创并发展了外微分形式与活动标架法， 李群与黎曼几何之间的联系逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。

2. 近复结构和复几何

微分流形 M 上的一个近复结构是 M 的切丛TM 的一个自同构，满足 J·J=-1. 如果近复结构是可积的，那么就可以找到 M 上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数， 这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。

3. 辛结构和辛几何

微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。 与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。 辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。

四、结 语

以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯---黎曼---希尔伯特---外尔。 导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间---流形上的几何。 流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，特别是邻域公理的建立密不可分，(微分) 流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。 所以说，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。

参考文献

〔1〕 陈惠勇。流形概念的起源与发展[J].太原理工大学学报，2007(3)：53-57.

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